黄金比率

在序列中的前几个数字以后，任何一个数字与下一个数字之比大约是0.618比1，而与前一个数字之比大约是1.618比1。数字在序列中越靠后，比值越接近φ子，φ是无理数0.618034。序列中间隔一个数字的相邻的两个数字的比值是0.381，其倒数是2.618。图3—2是链接所有1至144的斐波纳奇数字的比率表。

φ是唯一一个与1相加，可以得到其倒数的数字：0.618+1=1÷0.618。把相加和相乘结合，可得到以下等式序列：
0.618²=1-0.618
0.618³=0.618-0.618²
0.618⁴=0.6182-0.618³
0.618⁵=0.6183-0.618⁴，等等
或，
1.618²=1+1.618
1.618³=l.618+1.618²
1.618⁴=1.6182+1.618³
1.618⁵=1.6183+1.618⁴，等等

四种主要比率的某些关联性质如下：
1.618-0.618=1．
1.618x0.618=1．
1-0.618=0.382．
0.618x0.618=0.382．
2.618-1.618=1
2.618x0.382=1，
2.618×0.618=1.618
1.6i8×1.618=2.618。

除了1和2之外，任何斐波纳奇数字乘以4，再有选择地加上一个斐波纳奇数字，可以得到另一个斐波纳奇数字，因此：
3×4=12；+1=13．
5×4=20；+1=21．
8×4=32；+2=34，
13×4=52；+3=55，
21×4=84；+5=89，依此类推。

在新序列发展的时候，第二三个序列从与4倍的乘积相加的数字开始。这种关系是可能的，因为隔两个数字相邻的斐波纳奇数字的比值是4.236，这里0.236不仅是4.236的倒数，也是4.236与4的差。其他乘积可以产生不同的序列，这些序列都是基于斐波纳奇乘积。

以下，我们例举了部分与斐波纳奇序列有关的现象：

1．两个连续的斐波纳奇数字没有公约数。

2．我们发现，如果把斐波纳奇序列标上序列号1，2，3，4，5，6，7，等等，除了第、第二和第四个斐波纳奇序列数字以外，每次遇到素数（仅能被l及其自身整除的数）的斐波纳奇数字时，它的序列号也是素数。相似地，从斐波纳奇序列数字的第六项开始。所有合数（除了1及其自身以外，还能被其他整数整除的数）的序列数都表示着合数的斐波纳奇数字，如下表。但反过来，这种现象就不成立了。

3．序列中的任何十个数字之和，均可被11整除。

4．序列中发展至任何一步的所有的斐波纳奇数字之和加上1等于与最后一个加数向后相隔一项的斐波纳奇数字。

5．从第一个1开始的任何相连的斐波纳奇序列数字的平方和，等于被选的最后一个序列数字乘以这个数字之后的斐波纳奇序列数字。

6．一个斐波纳奇数字的平方，减去序列中与这个数字向前相隔一项数字的平方，结果还是一个斐波纳奇数字。

7．任何斐波纳奇数字的平方等于序列中这个数字的前一项与后一项的乘积，再加上1或减去1。在整个序列中加上1或减去1相互交替。

8．一个斐波纳奇数字Fn的平方乘以下一个斐波纳奇数字Fn+1的平方等于斐波纳奇数字F2n+1。公式Fn2+Fn+12=F2n+1适用于直角三角形，直角三角形二直角边的平方和等于斜边的平方。

9．有一个公式可以表示数学中两个无处不在的无理数π和Φ之间的关系：Fn≈100×π2×Φ（15-Φ），其中Φ=0.618……，n代表斐波纳奇序列中各项的序列号，而Fn则表示这个项本身。在此情况下，数字“1”仅代表了一次，因此F1≈1，F2≈2，F3≈3，F4≈5，等等。

10．还有一个延伸思维的现象，据我们所知以前未曾提到过，即斐波纳奇数字问的比值非常接近于另一个斐波纳奇数字的千分之一，其差值又是第三个斐波纳奇数字的干分之一，在序列中都是如此（见比率表，图3—2）。因此，在比率上升的方向上，相同的斐波纳奇数字之比是1.00，或0.987加上0.013；相邻的斐波纳奇数字之比是1.618，或1.597加上0.021；相隔一项的斐波纳奇数字之比是2.618，或2.584加上0.034；依此类推。在比率下降的方向上，相邻的斐波纳奇数字之比是0.618，或0.610加上0.008；相隔一项的斐波纳奇数字之比是0.382，或0.377加上0.005；相隔二项的斐波纳奇数字之比是0.2366，或0.233加上0.003；相隔三项的比率是0.146，或0.144加上0.002；相隔四项的比率是0.090，或0.089加上0.001；相隔五项的比率是0.056，或0.055加上0.001；相隔六项至相隔十二项的比率本身就是从0.034开始的，一个斐波纳奇数字的千分之几。有趣的是，根据这种分析，相隔十三项的二个斐波纳奇数字之比又回到了0.001，斐波纳奇序列数字开始的千分之一。在所有的计数中，我们真的像斐波纳奇序列数字的崇拜者所说的那样，创造了“在一个无穷级数中繁衍”的“特征传递”，揭示了“所有数学关系中最紧密的”的特性。

最后，我们注意到，（√55+1）／2=1.618而（√5-1）／2=0.618，其中√5=2.236，5是波浪理论中的一个最重要的数字，而它的平方根是φ的数学解。

1.618（或0.618）即所谓黄金比（GoldenRatio）或黄金平衡（GoldenMean）。它的比例令眼睛和耳朵感到和谐。它在生物、音乐、绘画和建筑中都有表现。威廉·霍法（WilliamHoffet）在为1975年12月号的《史密森人（SmithsonianMagazine）》杂志撰写的文章中说：

……0.618034与1之比是纸牌与巴台农神庙（Parthenon）、向日葵与蜗牛壳、希腊花瓶与外宇宙的螺旋星系的形状的数学基础。希腊人将他们的大量绘画和建筑基于这个比例。他们称其为“黄金平衡”。

斐波纳奇的魔术兔子，在许多意外的的地方出现。兔子的对数无疑是一种神秘的自然的和谐，这种和谐宜人、悦目、甚至动听。比如，音乐的一度有八个音符。在钢琴上它用8个白键，5个黑键表示——共13个键。最悦耳动听的音乐是大六度绝不是巧合。音符E的振动是音符C的0.62500倍。音符A仅仅与黄金平衡相差0.006966，大六度的比率引起内耳耳蜗——正好也是呈对数螺线的形状的器官——的和谐振动。

斐波纳奇数字和黄金螺线在自然界中的不断出现，精确地解释了为什么0.618034与1之比在绘画中让人感觉如此舒服。人们可以在绘画中发现基于黄金平衡的生命肖像。

小到原子结构、大脑中的微细管以及DNA分子（见图3—9），大到行星的距离和周期，大自然在其最本质的积木和最高级模式中采用黄金比，它包含在非常广泛的现象中，如准晶体排列，光束在玻璃表面上的反射，大脑和神经系统，乐曲改编，植物和动物的结构。科学正在迅速证明有一种基本的自然比例构造原理。顺便说一下，你用你五个附肢中的两个拿着这本书，每个附肢有二三个相连的部位，附肢的顶端有5个手指或脚趾，而每个手指或脚趾必有3个相连的部分，这是个或许可以说明波浪理论的5-3-5-3的行进。